x的奇幻之旅-第4章

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　　　　因为上述理由，很多年来，没有人能够把一张纸对折8次以上，直到2002年，一位名叫布兰妮？加利文的女高中生完成了这个“不可能的任务”。首先，加利文姑娘推导出了一个公式：

　　　　在这个公式中，L是纸张的长度，T是纸张的厚度，n是这张纸能被对折的最大次数。从这个公式中可以清楚地看出，这个任务之所以那么困难，就是因为有两个2n存在：其中一个2n表示每对折一次纸张的厚度就会翻倍，另一个2n则表示每对折一次纸张的长度就会减半。

　　　　根据这个公式，加利文算出，她需要一卷特制的厕纸，这卷纸大约有3/4英里长（相当于1207米）。2002年1月，加利文买到了能满足她的要求的厕纸，她在美国加利福尼亚州波莫纳市的一家购物中心里铺开了这卷厕纸，开始进行这项伟大的工程。7个小时以后，在父母的帮助下，加利文把这张纸对折了12次，一举打破了世界纪录。

　　　　理论上，指数增长是你致富的希望。假设你把钱存在银行里，每年的年利率是r，那么一年以后，你的存款会变成本金的（1＋r）倍；两年以后，你的存款会变成本金的（1＋r）2倍；x年以后，你的存款会变成本金的（1＋r）x倍。这就是我们所说的“复利”，即传说中“滚雪球”的魔力，这种现象的本质其实也是指数增长。
第11章　函数：你能把一张纸对折8次以上吗？（4）
　　　　现在，让我们回到本章一开始就提到的对数。为什么我们需要对数？因为很多时候，我们需要一些反向的工具，用于消除某种其他工具产生的效果。就像每一个办公室文员都需要一台订书机和一台订书针拆除器一样，每一个数学家都需要指数函数和对数函数。是的，对数函数是指数函数的逆运算。也就是说，如果你往计算器中输入一个数字x，按下10x按钮，然后再按下logx按钮，那么计算器就会给出你输入的那个数字。例如，如果x取2，10x就是102也就是100。然后再计算log（100），我们得到的结果等于2。在计算器上，logx按钮可以抵消10x按钮的功能，所以

　　　　log（100）=2。同样，log（1000）=3，log（10000）=4，因为1000=103，10000=104。

　　　　看出其中的神奇之处了吗？当log后面括号里的数字以乘法增长，每次增长10倍，从100增长到1000，再从1000增长到10000的时候，它们的对数却以加法增长，每次增长1，从2增长到3，再从3增长到4。当我们听音乐的时候，我们的大脑也在进行一种类似的工作。音的频率do、re、mi、fa、sol、la、ti、do听起来像是一步一步、一阶一阶地增长的，但其实这些音的震动频率是以乘法的方式成倍增长的。看！我们人类其实是用对数的方法来识别音阶的。

　　　　在很多领域，对数使得计数变得更加简洁明了：从衡量地震强度的里氏震级，到化学中衡量酸碱度的pH值，这些读数或指标其实都是对数。当需要衡量的数量大的极大、小的极小，横跨的范围很宽的时候，对数的引入能起到压缩作用，压缩后的数据更直观易懂，便于比较和分析。比如说100和1亿之间相差100万倍，这个差距太大，以至于一般人的头脑已经无法理解这个差距的具体含义了。但是，100和1亿的对数只差4倍（100的对数是2，1亿的对数是8，因为100=102，100000000=108）。在日常对话中，我们会说某人的年薪是6位数，意思是某人的年薪在100000~999999美元之间。这种说法其实也用到了对数的概念，这个庞大的年薪数额的对数不正好是6左右吗？准确地说，这个范围内的年薪数额的对数在5到6之间。

　　　　幂函数、指数函数、对数函数，这些数学工具实在是相当巧妙和实用。但是，数学家的工具箱有时也有点儿“纸上谈兵”的味道。正是因为工具的局限性，我至今也没能成功地组装起我从宜家家居买来的那个书架。